Язык технических вычислений
Миллионы инженеров и ученых во всем мире используют MATLAB ® , чтобы анализировать и разработать системы и продукты, преобразовывающие наш мир. Матричный язык MATLAB является самым естественным способом в мире выразить вычислительную математику. Встроенная графика облегчает визуализацию и понимание данных. Окружение рабочего стола способствует экспериментированию, исследованиям и открытиям. Эти средства MATLAB и возможности все строго протестированы и разработаны, чтобы работать совместно.
MATLAB помогает вам воплощать свои идеи за пределами рабочего стола. Можно запустить исследования больших наборов данных и масштабировать до кластеров и облаков. Код MATLAB может быть интегрирован с другими языками, позволив вам развернуть алгоритмы и приложения в сети, предприятии и промышленных системах.
Начало работы
Изучите основы MATLAB
Основы языка
Синтаксис, индексация и обработка массива, типы данных, операторы
Импорт и анализ данных
Импорт и экспорт данных, в том числе и больших файлов; предварительная обработка данных, визуализация и исследования
Математика
Линейная алгебра, дифференцирование и интегрирование, преобразования Фурье и прочая математика
Графика
2D и 3D графики, изображения, анимация
Программирование
Скрипты, функции и классы
Создание приложений
Разработка приложений с помощью App Designer, программируемого рабочего процесса или GUIDE
Инструменты разработки программного обеспечения
Отладка и тестирование, организация крупных проектов, интеграция с системой контроля версий, упаковка тулбоксов
Часто при организации цикла требуется перебирать значение счетчика в заданном диапазоне значений и с заданным шагом изменения. Например, чтобы перебрать элементы вектора (массива), нужно организовать счетчик от 1 до N с шагом 1, где N – число элементов вектора. Чтобы вычислить сумму ряда, также задается счетчик от a до b с требуемым шагом изменения step. И так далее. В связи с тем, что подобные задачи часто встречаются в практике программирования, для их реализации был предложен свой оператор цикла for, который позволяет проще и нагляднее реализовывать цикл со счетчиком.
Синтаксис оператора цикла for имеет следующий вид:
for <счетчик> =
<начальное значение>:<шаг>:<конечное значение>
<операторы цикла>
end
Рассмотрим работу данного цикла на примере реализации алгоритма поиска максимального значения элемента в векторе:
function search_max
a = ;
m = a(1); % текущее
максимальное значение
for i=1:length(a) % цикл от 1 до
конца вектора с
% шагом 1 (по умолчанию)
if m < a(i) %
если a(i) >
m,
m = a(i); %
то m = a(i)
end
end %
конец цикла for
disp(m);
В данном примере цикл for задает счетчик i и меняет его значение от 1 до 10 с шагом 1. Обратите внимание, что если величина шага не указывается явно, то он берется по умолчанию равным 1.
В следующем примере рассмотрим реализацию алгоритма смещения элементов вектора вправо, т.е. предпоследний элемент ставится на место последнего, следующий – на место предпоследнего, и т.д. до первого элемента:
function queue
a = ;
disp(a);
for i=length(a):-1:2 % цикл от
10 до 2 с шагом -1
a(i)=a(i-1); % смещаем
элементы вектора а
end %
конец цикла for
disp(a);
Результат работы программы
3 6 5 3 6 9 5 3 1 0
3
3 6 5 3 6 9 5 3 1
Приведенный пример показывает, что для реализации цикла со счетчиком от большего значения к меньшему, нужно явно указывать шаг, в данном случае, -1. Если этого не сделать, то цикл сразу завершит свою работу и программа будет работать некорректно.
В заключении рассмотрим работу оператора цикла for на примере моделирования случайной последовательности с законом изменения
где - коэффициент от -1 до 1; - нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией
,
где - дисперсия моделируемого случайного процесса. При этом первый отсчет моделируется как нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Программа моделирования имеет следующий вид:
function modeling_x
r = 0.95; %
коэффициент модели
N = 100; %
число моделируемых точек
ex = 100; %
дисперсия процесса
et = ex*(1-r^2); % дисперсия
случайной добавки
x = zeros(N,1); %
инициализация вектора х
x(1) = sqrt(ex)*randn; % моделирование 1-го
отсчета
for i=2:N % цикл
от 2 до N
x(i)=r*x(i-1)+sqrt(et)*randn; % моделирование
СП
end %
конец цикла
plot(x); %
отображение СП в виде графика
При выполнении данной программы будет показана реализация смоделированной случайной последовательности .
Рис. 2.1. Результат моделирования случайной последовательности.
Работа программы начинается с
определения переменных , (в программе
переменная ex) и для реализации
указанной модели. Затем вычисляется дисперсия и моделируется первый отсчет
случайного процесса с помощью функции randn. Функция randn выполняет
генерацию нормальных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией.
Чтобы сгенерировать случайную величину с дисперсией достаточно
случайную величину с единичной дисперсией умножить на , т.к. дисперсия
– это средний квадрат случайной величины относительно математического ожидания.
В результате имеем программную строчку
x(1) = sqrt(ex)*randn;
Затем, реализуется цикл for со счетчиком i от 2 до N с шагом 1. Внутри цикла выполняется моделирование оставшихся N-1 отсчетов случайного процесса в соответствии с приведенной выше формулой. В последней строчке программы записана функция plot(), которая выводит смоделированную последовательность на экран в виде графика. Более подробно работа с выводом графиков на экран будет рассмотрена в следующей главе.
СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 1104 c.
ISBN 5-94157-494-0
Скачать
(прямая ссылка):
matlab72005.pdf Предыдущая 1 .. 117 > .. >> Следующая
while условие повторения цикла команды MATLAB
В данном примере условием повторения цикла является то, что модуль текущего слагаемого x2k~l/(2k +1)! больше IO10. Для записи условия в форме,
понятной MATLAB, следует использовать знак ">" (больше). Текст файл-функции mysin, вычисляющей сумму ряда на основе рекуррентного соотношения
k 2k(2k + \) k 1
приведен в листинге 7.7.
Примечание ^
Конечно, в общем случае малость слагаемого- понятие относительное, слагаемое может быть, скажем, порядка IO-10, но и сама сумма того же порядка. В этом случае условие окончания суммирования должно быть другим, а именно малость модуля отношения текущего слагаемого к уже накопленной части суммы. Пока не будем обращать на это внимания - нашей задачей является изучение работы с циклами.
Листинг 7.7. Файл-функция mysin, вычисляющая синус разложением в ряд
function s - mysin(х)
"% Вычисление синуса разложением в ряд
% Использование: у = mysin [х}, -pi < х < piГлава 7. Управляющие конструкции языка программирова ни я
Ї вычисление первого слагаемого суммы для к = О k = 0; и - х;
% вычисление вспомогательной переменной х2 - х*х;
while abs(u) > 1.Oe-IO k = к + 1; u = -и* х2/(2*к)/(2*к + 1)
Обратите внимание, что у цикла while, в отличие от for, нет переменной цикла, поэтому пришлось до начёта цикла к присвоить единицу, а внутри цикла увеличивать к на единицу.
Сравните теперь результат, построив графики функций mysin и sin на отрезке [-л, я] Fia одних осях, например, при помощи fplot (команды можно задать из командной строки): » fplot (@rnysin, [-pi, pi]) » hold on
» fplot(@sin, t-pii pi]і "k.")
Рис. 7.3. Сравнение mysin и sin360_________ Часть II. Вычисления и программирование
Получающиеся графики изображены на рис. 7.3, они свидетельствуют о правильной работе файл-функции mysin.
Условие цикла while может содержать логическое выражение, составленное из операций отношения и логических операций или операторов. Для задания условия повторения цикла допустимы операции отношения, приведенные в табл. 7.1.
Таблица 7.1. Операции отношения
Обозначение Операция отношения
== Равенство
< Меньше
<= Меньше или равно
>= Больше или равно
Не равно
Задание более сложных условий производится с применением логических операторов или операций. Например, условие -1<.г<2 состоит в одновременном выполнении неравенства а>-1 и х<2 и записывается при помощи логического оператора and
and(x >= -1, X < 2)
или эквивалентным образом с применением логической операции "и" - &
(х >= -1) & (х < 2)
Основные логические операции и операторы и примеры их записи приведены в табл. 7.2 (логические выражения подробно описаны в разд. "Логические операции с числами и массивами " этой главы).
Таблица 7.2. Логические выражения
Тип выражения Выражение Логический оператор Логическая операция
Логическое "и" А*<3 И к=4 and (х < 3, k==4) (х<3) s (k = 4)
Логическое "или" X = Ї или 2 or (х == 1, X= 2) (х == 1) I (х == 2)
Отрицание "не" а* 1.9 not (a == 1.9) -(а == 1.9)Глава 7. Управляющие конструкции языка программирова ни я
^ Примечание ^
Операторы not, and и or являются функциям», возвращающими значения "истина" (логическая единица) или "ложь" (логический ноль). Такие же значения принимает любое логическое выражение.
При вычислении суммы бесконечного ряда имеет смысл ограничить число слагаемых. Если ряд расходится из-за того, что его члены не стремятся к нулю, то условие на малость текущего слагаемого может никогда не выполниться и программа зациклится. Выполните суммирование, ограничив число слагаемых. Добавьте в условие цикла while файл-функции mysin (см. листинг 7.6) ограничение на количество слагаемых:
(abs(u) > 1.Oe-IO) & (к <= 100000) или в эквивалентной форме:
and
^ Примечание ^
Для задания порядка выполнения логических операций следует использовать круглые скобки (подробнее про логические операторы и логические операции и про возможность применения их к массивам написано в
разд. "Логические выражения с массивами и числами" данной главы).
При программировании алгоритмов кроме организации повторяющихся действий в виде циклов часто требуется выполнить тот или иной блок команд в зависимости от некоторых условий, т.е. использовать ветвление алгоритма.
Операторы ветвления
Условный оператор if и оператор переключения switch позволяют создать гибкий разветвляющийся алгоритм, в котором при выполнении определенных условий выполняется соответствующий блок операторов или команд MATLAB. Практически во всех языках программирования имеются аналогичные операторы.
Условный оператор if
Оператор if может применяться в простом виде, для выполнения блока команд при удовлетворении некоторого условия, или в конструкции if-eiseif-eise для написания разветвляющихся алгоритмов.362
Часть II. Вычисления и программирование
Проверка входных аргументов
Начнем с простейшего примера - создайте файл-функцию для вычисления
Кафедра: Информационные технологии
ПРОГРАММИРОВАНИЕ В MATLAB
Операторы MATLAB
· Операторы цикла
Цикл for
Синтаксис
for count=start:step:final
команды MATLAB
Описание
count - переменная цикла,
start - ее начальное значение,
final - ее конечное значение,
step - шаг, на который увеличивается count при каждом следующем заходе в цикл
цикл заканчивается, как только значение count становится больше final.
Пример
Пусть требуется вывести семейство кривых для x€ , которое задано функцией, зависящей от параметра
y (x, a) = e-ax sin x,
для значений параметра а от -0.1 до 0.1. Ниже приведен листинг файл-программы для вывода семейства кривых.
Листинг программы
x = ;
for a = -0.1:0.02:0.1
y = exp (-a*x).*sin(x);
В результате выполнения программы появится графическое окно, которое содержит требуемое семейство кривых.
Цикл while
Синтаксис
while условие цикла
команды MATLAB
Описание
Цикл работает, пока выполняется (истинно) условие цикла. Для задания условия выполнения цикла допустимы следующие операции отношения:
Задание более сложных условий производится с применением логических операторов. Логические операторы приведены в следующей таблице
Пример
Операторы ветвления
Условный оператор if
Синтаксис
if условие
команды MATLAB
Описание
Если условие верно, то выполняются команды MATLAB, размещенные между if и end, а если условие не верно, то происходит переход к командам, расположенных после end.
Пример
Условный оператор elseif
Синтаксис
if условие1
elseif условие2
………………………
elseif условиеn
Описание
В зависимости от выполнения того или иного условия работает соответствующая ветвь программы, если все условия неверны, то выполняются команды, размещенные после else.
Пример
Оператор switch
Синтаксис
switch переменная
case значение1
case значение2
……………………
case значениеn
Каждая ветвь определяется оператором case, переход в нее выполняется тогда, когда переменная оператора switch принимает значение, указанное после case, или одно из значение из списка case. После выполнения какой-либо из ветвей происходит выход из switch, при этом значения, заданные в других case, уже не проверяются. Если подходящих значений для переменной не нашлось, то выполняется ветвь программы, соответствующая otherwise.
Пример
Прерывания цикла. Исключительные ситуации.
Оператор break
Синтаксис
Оператор break используется при организации циклических вычислений: for…end, while…end. При выполнении условия
if условие
оператор break заканчивает цикл (for или while) и происходит выполнение операторов, которые расположены в строках, следующих за end. В случае вложенных циклов break осуществляет выход из внутреннего цикла.
Обработка исключительных ситуаций, оператор try … catch
Синтаксис
операторы, выполнение которых
может привести к ошибке
операторы, которые следует выполнить
при возникновении ошибки в блоке
между try и catch
Описание
Конструкция try…catch позволяет обойти исключительные ситуации (ошибки, приводящие к окончанию работы программы, например, обращение к несуществующему файлу) и предпринять некоторые действия в случае их возникновения.
Пример
Сервисные функции
disp -осуществляет вывод текста или значения переменной в командное окно
input - осуществляет запрос на ввод с клавиатуры. Используется при создании приложений с интерфейсом из командной строки.
eval - выполняет содержимое строки или строковой переменной, как команды MATLAB
clear - удаляет переменные рабочей среды.
с lc - производит очистку командного окна
Более подробную информацию об этих и других функциях можно узнать, выполнив в командной строке
help имя_функции
Задания на выполнение лабораторной работы
Номер конкретного варианта задания определяется преподавателем.
Задание № 1
Данное задание подразумевает нахождение для некоторой совокупности данных алгебраического интерполяционного многочлена степени n: P n (x ) .
Цель работы:
Необходимо составить программу вычисления коэффициентов алгебраического интерполяционного многочлена P n (x )= a 0 + a 1 x + … + a n x n .
Методические указания:
х i | |||||
y i |
Коэффициенты a 0 , a 1 , …, a n определяются из решения системы уравнений:
Здесь n - порядок интерполяционного многочлена,
n +1 - количество заданных пар точек (x , y ),
a 0 , a 1 ,… a n - искомые коэффициенты многочлена P n (x )= a 0 + a 1 x + … + a n x n ).
Требования к программе
· Задать границы отрезка , на котором строится интерполяционный многочлен P(x)
· Задать n - количество отрезков интерполяции (или, что то же самое, степень многочлена)
Примечание: x0 , xn , n вводятся с клавиатуры.
· Для получения исходных данных (x , y ) (количество пар точек (x i , y i ) , по которым строится интерполяционный многочлен P(x) - n1=n+1 ) предусмотреть:
ь Ввод произвольно расположенных узлов x i , i=0 , n с клавиатуры
ь Расчет узлов x i , i=0 , n , соответствующих равномерному расположению аргумента x на отрезке
ь В пп. 1,2 значения y i , i=0 , n либо вводятся с клавиатуры (если исходная функция неизвестна), либо вычисляются по заданной функции f(x) . Выражение, определяющее функцию, вводится с клавиатуры и должно соответствовать правилам записи выражений в MATLAB
ь Ввод данных (x i , y i , i=0 , n ) из файла
· Решить систему уравнений для определения коэффициентов многочлена P(x)
· Построить графики исходной таблично заданной функции и многочлена P(x)
· Если исходные данные заданы в виде функции f(x), построить график погрешности интерполяции /f(x) - P(x)/. Рассчитать максимальное по модулю значение погрешности интерполяции на заданном промежутке.
Задание № 2
Интерполяция сплайнами
Цель работы:
Необходимо составить программу вычисления коэффициентов и построения сплайн-функции S(x), «склеенной» из кусков многочленов 3_го порядка Si (x ), которые имеют специальную форму записи:
функция Si (x ) определена на отрезке ,
Требования к программе
При выполнении данной работы необходимо:
· Задать границы отрезка , на котором строится сплайн-функция S(x)
· Задать n - количество отрезков интерполяции, на каждом из которых строится кубический многочлен Si(x).
· Примечание: x0, xn, n вводятся с клавиатуры.
· Организовать ввод исходных данных (x, y) (количество пар точек (xi, yi), по которым строится сплайн-функция S(x), n1=n+1), предусмотрев:
ь Ввод произвольно расположенных узлов xi, i=0, n с клавиатуры
ь Расчет узлов xi, i=0, n, соответствующих равномерному расположению аргумента x на отрезке
ь В пп. 1,2 значения yi, i=0, n либо вводятся с клавиатуры (если исходная функция неизвестна), либо вычисляются по заданной функции f(x). Выражение, определяющее функцию, вводится с клавиатуры и должно соответствовать правилам записи выражений в MATLAB
ь Ввод данных (xi, yi, i=0, n) из файла
ь S1""(x0)=0, S3""(x3)=0
ь S1"(x0)=f "(x0), S3"(x3)=f "(x3)
ь S1""(x0)=f «(x0), S3""(x0)=f «(x3)
· Для определения коэффициентов естественного кубического сплайна (краевые условия 1) необходимо решить следующую систему уравнений:
Коэффициенты?0 =0,?n =0
· Построить графики исходной функции и сплайн-функций для всех трех типов краевых условий.
· Построить графики функций погрешности сплайн-интерполяции f(x) - S(x) для всех трех типов краевых условий.
Примечание:
В пакете MATLAB индексы одномерных и двумерных массивов начинаются с 1, а не с 0. Учесть это при составлении программы.
Задание №3
Аппроксимация функции методом наименьших квадратов (МНК).
Данное задание подразумевает нахождение для некоторой совокупности данных аппроксимирующей функции (многочлена степени m), построенной методом наименьших квадратов (МНК).
Цель работы:
Необходимо составить программу нахождения коэффициентов многочлена?(x )= a 0 + a 1 * x +… a n * x m методом наименьших квадратов.
Пусть, например, имеется следующая совокупность данных:
х i | |||||||||||
y i |
Поиск необходимых коэффициентов осуществляется следующим образом:
где n - количество точек (x , y ),
m - степень искомого многочлена,
a 0 , a 1 , …, a m - искомые коэффициенты (? ( x )= a 0 + a 1 x + … + a m x m ).
Требования к программе
При выполнении данной работы необходимо:
· Задать границы отрезка , на котором строится аппроксимирующая функция?(x)=a0+a1*x+… an * xm
· Задать m - степень многочлена
· Примечание: x1, xn, m вводятся с клавиатуры.
· Для получения исходных данных (x, y), по которым строится аппроксимирующая функция?(x)=a0+a1*x+… an* xm предусмотреть:
ь Ввод произвольно расположенных узлов xi, i=1, n с клавиатуры
ь Расчет узлов xi, i=1, n, соответствующих равномерному расположению аргумента x на отрезке
ь В пп. 1,2 значения yi, i=1, n либо вводятся с клавиатуры (если исходная функция неизвестна), либо вычисляются по заданной функции f(x). Выражение, определяющее функцию, вводится с клавиатуры и должно соответствовать правилам записи выражений в MATLAB
ь Ввод данных (xi, yi, i=1, n) из файла
· Решить систему уравнений для определения коэффициентов многочлена?(x)
· Построить графики исходной таблично заданной функции и многочлена?(x)
· Если исходные данные заданы в виде функции f(x), построить график погрешности интерполяции /f(x) - ?(x)/. Рассчитать максимальное по модулю значение погрешности интерполяции на заданном промежутке.
При выполнении последнего пункта на отрезке взять не менее 500 точек для проведения расчетов
Требования к оформлению лабораторной работы
Отчет должен содержать:
1. Постановку задачи
2. Текст программы
3. Результаты тестирования
Примечание тексты программ должны быть снабжены комментариями.
Список литературы
1. Ануфриев И.Е. Самоучитель Matlab 5.3/6.x - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 736 с.: ил.
2. В.П. Дьяконов MATLAB 6.5 SPI/7 + Simulink 5/6 в математике и моделировании. Серия «Библиотека профессионала». - М.: СОЛОН-Пресс, 2005. - 576 с.: ил.
3. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MathLab 7. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 1104 с.: ил.